a) Chứng minh: ∆AEB đồng dạng với ∆AFC.

Giả sử ta cần chứng minh đẳng thức góc giữa hai tam giác ∆AEB và ∆AFC. Ta có:

∠AEB = ∠AEH + ∠BEH  = ∠AFH + ∠HFC  = ∠AFC

Tương tự, chúng ta cũng có: ∠BAE = ∠CAF

Vì vậy, theo quy tắc tương tự góc (AA), ta có ∆AEB đồng dạng với ∆AFC.

b) Chứng minh: HB.HE = HC.HF.

Áp dụng định lý cao trong tam giác, ta có:

HB.HE = 2S(∆ABC) (1) HC.HF = 2S(∆ACB) (2)

Vì tam giác ABC là một tam giác tổng quát, nên S(∆ABC) = S(∆ACB). Do đó, từ (1) và (2), ta có HB.HE = HC.HF.

c) Chứng minh: ABC = AEF.

Giả sử ta cần chứng minh đẳng thức góc giữa hai tam giác ∆ABC và ∆AEF. Ta có:

∠ABC = 180° - ∠ACB (tổng các góc trong tam giác) = 180° - ∠AEF (do ∆ACB đồng dạng với ∆AEF theo phần a)

Vì vậy, ∠ABC = ∠AEF, từ đó suy ra ABC = AEF theo quy tắc tương tự góc (AA).

Vậy, các giả thiết đã được chứng minh.