Để chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học đường tròn. 

Vì DE vuông góc với BC và (O) là đường tròn nên DE cắt BC tại điểm C, gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM là đường cao của tam giác ABC và OM là đường trung trực của BC. Do đó, OM vuông góc với BC và OM đi qua trung điểm M của BC nên OM song song với DE.

Theo giả thiết, BO = 2B4. Vì B4 nằm trên tia đối của tia BC và BO là đường phân giác góc B nên OB và O4 cũng là đường phân giác góc B. Vậy, OB và O4 là hai đường phân giác góc B của tam giác ABC. Từ đó, ta suy ra OB = O4 và tứ giác OBO4 là hình chữ nhật.

Vì O4B là đường phân giác góc B, nên OB vuông góc với AE. Như vậy, ta có OB // AE. Vì tứ giác OBO4 là hình chữ nhật, nên OB song song với O4. Do đó, ta cũng có O4 // AE.

Kết hợp OB // O4 và O4 // AE, ta suy ra OB // AE. Điều này cho thấy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.

Vậy, ta đã chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn (O).