Ta có thể sử dụng tính chất của dãy harmonic để giải bài toán này. Theo định nghĩa, dãy harmonic là dãy số được tạo thành bởi các phần tử có dạng 1/n, với n là số nguyên dương. Ta có thể biểu diễn dãy harmonic dưới dạng sau:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n + …

Tổng các phần tử của dãy harmonic này không hội tụ, tuy nhiên, nếu ta cắt bỏ một số phần tử của dãy này, ta có thể tạo ra một dãy mới mà tổng các phần tử của nó hội tụ. Điều này được gọi là tính chất của dãy harmonic.

Trong trường hợp này, ta muốn chứng minh rằng tổng A = 1+1/2+1/3+1/4+…+1/2 mũ 2021 < 2021. Ta sẽ sử dụng tính chất của dãy harmonic để chứng minh điều này.

Để làm được điều này, ta sẽ cắt bỏ một số phần tử của dãy harmonic ban đầu, sao cho tổng của các phần tử còn lại lớn hơn 2021. Cụ thể, ta sẽ cắt bỏ các phần tử từ 1/2022 trở đi:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/2021 > 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/2021 + 1/2022 + …

Tổng của dãy harmonic cắt bỏ các phần tử từ 1/2022 trở đi là một số hữu hạn, vì vậy nó hội tụ. Do đó, ta có:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/2021 > 2021

Vì vậy, ta có A < 2021, như cần chứng minh.