a) Để chứng minh tứ giác BIOA nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh góc BIA bằng góc BOA.
Góc BIA và góc BOA đều là góc ở chùm tia nằm ngoài đường tròn và tiếp xúc với cùng một tiếp tuyến AB. Vì vậy, chúng có cùng góc phụ với tiếp tuyến AB. 

Gọi G là giao điểm của tiếp tuyến AB và đường tròn (O;R).
Ta có:
∠BGA = 90° (góc nội tiếp chắn cung BM)
∠BOA = 90° (góc ở tâm chắn cung BM)
Do đó, ∠BGA = ∠BOA.

Từ đó, ta có ∠BIA = ∠BOA, suy ra tứ giác BIOA nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
∠BIA = ∠BOA (chứng minh ở câu a)
∠BAM = ∠BAN (góc nội tiếp chắn cung BM)
Do đó, tứ giác AMBI là tứ giác cân, nên AM = BM.

Với tam giác ABM vuông tại M, ta có theo định lý Pythagoras:
AB^2 = AM^2 + BM^2 = AM^2 + AM^2 = 2AM^2.

Vậy, ta có AM.AN = AB^2.

c) Diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành khi tam giác AOB quay quanh cạnh OA cố định có thể tính được bằng phương pháp tích phân.
Diện tích xung quanh là 2π(R^2 - R^2/4) = 3πR^2/2.
Thể tích hình tạo thành là 2π(R^3 - R^3/8) = 15πR^3/8.

Vậy diện tích xung quanh là 3πR^2/2 và thể tích hình tạo thành là 15πR^3/8.