a. Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn:
Để chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp, ta cần chứng minh góc BCP và góc BIP là hai góc đối nhau.
Ta có:
- Góc BCP: là góc giữa đường thẳng d và BC, do đường thẳng d vuông góc với AB tại I, nên góc BCP = 90°.
- Góc BIP: là góc giữa đường thẳng d và BP, do BP cắt d tại I, nên góc BIP = 90°.
Vậy góc BCP = góc BIP = 90°, tứ giác BCPI nội tiếp trong một đường tròn.

b. Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng:
Ta có:
- Tứ giác BCPI nội tiếp trong một đường tròn (chứng minh ở câu a).
- M là điểm trên đường thẳng d cắt tia BC, nên góc BCM = góc ICP (góc ở cùng tia MC).
- AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K, nên góc BAM = góc CKM (góc ở cùng tia MK).
Vì góc BCM = góc ICP và góc BAM = góc CKM, nên ta có hai cặp góc đồng qui:
- góc BCM = góc ICP
- góc BAM = góc CKM
Do đó, ba điểm B, P, K thẳng hàng.

c. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi BC = R:
Để tính diện tích của tứ giác QAIM, ta cần biết các giá trị của R và BC.
Theo đề bài, ta đã biết BC = R.
Đối với R, không có giá trị cụ thể được đưa ra trong đề bài nên không thể tính diện tích của tứ giác QAIM một cách chính xác.
Để tính diện tích của tứ giác QAIM, cần biết giá trị cụ thể của R.