1) Chứng minh tứ giác MEOB nội tiếp:
Vì Mi và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠MOB = ∠MBE (cùng nằm ở cung cung 4B)
∠MBO = ∠MEB (cùng nằm ở cung cung Mi)
Do đó, tứ giác MEOB có hai góc tương đương nhau, tứ giác này là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh E.AEB = EIEM và MHC = OCE:
Ta có:
∠AEB = ∠MEB (vì tứ giác MEOB nội tiếp)
∠EIEM = ∠MEO (cùng nằm ở cung cung EM)
Do đó, E.AEB = EIEM.

Tương tự,
∠MHC = ∠OCE (cùng nằm ở cung cung OC)
Và ∠MHC = ∠OCE (do MHC và OCE là hai góc đối nhau của hai đường thẳng song song MD và OC)
Vậy MHC = OCE.

3) Chứng minh IK || AC:
Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với O4, gọi giao điểm với AE là K. Ta cần chứng minh IK || AC.

Vì AC là đường thẳng nối hai tiếp điểm A và B trên đường tròn (O), nên theo tính chất của đường tiếp tuyến, ta có:
∠OAC = ∠CBA (cùng nằm ở cung cung AB)
∠ACO = ∠ABM (cùng nằm ở cung cung Mi)
Do đó, tứ giác AOCB có hai góc tương đương nhau, tứ giác này là tứ giác nội tiếp.

Từ đó, ta có:
∠IKC = ∠OAC (cùng nằm ở cung cung AC)
∠AKC = ∠ACO (cùng nằm ở cung cung AB)
Vậy ∠IKC = ∠AKC.

Với ∠IKC = ∠AKC, ta có IK || AC.

Kết luận: Tứ giác MEOB nội tiếp, E.AEB = EIEM, MHC = OCE, và IK || AC.