Để chứng minh các phần trong câu hỏi, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác nội tiếp và tứ giác nội tiếp.

1) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp:
Ta có góc ABK và góc ABI là góc vuông (do AK và BI là các đường cao của tam giác ABC). Do đó, tứ giác ABKI có tổng hai góc vuông, nên nó là một tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh IK//DE và OCLIK:
Góc DEI và góc DAI là góc ở chung cung DE trên đường tròn (O), nên chúng bằng nhau (cùng nửa tròn). Tương tự, góc EBI và góc BCI bằng nhau. Vì tứ giác ABKI nội tiếp (chứng minh ở phần 1), nên góc ABI và góc AKI bằng nhau (cùng nửa tròn). Do đó, ta có:

Góc DEI = Góc DAI = Góc BCI = Góc EBI
Góc ABI = Góc AKI

Từ đó, ta có hai cặp góc đồng quy:

Góc DEI = Góc ABI
Góc EBI = Góc AKI

Do đó, ta suy ra IK//DE và OCLIK (do góc trái tương ứng của hai đường thẳng song song bằng nhau).

3) Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK không đổi:
Ta biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK có tâm là O (điểm trung điểm của cung nhỏ IK) và đi qua hai đỉnh C và K. Do đó, để chứng minh độ dài bán kính không đổi, ta chỉ cần chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK khi C di chuyển trên cung lớn AB.

Vì tứ giác ABKI nội tiếp (chứng minh ở phần 1), nên góc ABI và góc AKI bằng nhau. Khi C di chuyển trên cung lớn AB, góc ABI không đổi. Vì góc AKI = góc ABI (do chứng minh ở phần 2), nên góc AKI cũng không đổi. Điều này đồng nghĩa với việc điểm I luôn nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK.

Vậy, khi C di chuyển trên cung lớn AB,

 độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK luôn không đổi.