(a) Chứng minh AEHF và BEFC nội tiếp:

• Ta có đường cao BE của tam giác ABC, nênBE⊥AC. Tương tự, đường cao CF cũng thỏa mãn CF⊥AB.
• Vì BE và CF cắt nhau tại điểm H, nên theo tính chất giao của đường thẳng, ta có BE⊥CF.
• Do đó, ta có tứ giác AEHF là tứ giác có cạnh chéo EF và đường cao BE, CF đồng thời vuông góc với cạnh chéo. Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

Tương tự, ta có thể chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh OA vuông góc với EF và MD bình = ME × MF:

• Vì đường tròn nội tiếp tam giác ABC có các đường cao BE và CF, nên theo tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác, ta có OA là đường phân giác góc BAC.
• Từ (a), ta biết tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, nên OA⊥EF (vì đường phân giác của một tứ giác nội tiếp vuông góc với cạnh chéo).
• Từ tính chất đường tiếp tuyến, ta có MD là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp, nên OA⊥MD (vì đường tiếp tuyến của một đường tròn vuông góc với đường phân giác từ tâm đến điểm tiếp xúc).
• Từ các góc vuông được chứng minh trên, ta suy ra OA vuông góc cả EF và MD.

Để chứng minh MD bình = ME × MF, ta sẽ sử dụng định lý Ptolemy:

• Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác MDEF, ta có: MD⋅EF=ME⋅FD+MF⋅DE
• Tuy nhiên, EF là đường chéo của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên DE=AF và FD=AE. Thay vào biểu thức trên, ta được: MD⋅EF=ME⋅AE+MF⋅AF=ME⋅AF+MF⋅AE
• Vì tứ giác AEHF nội tiếp, nên AE = AF. Do đó, ta có ⋅2⋅MD⋅EF=ME⋅AF+MF⋅AE=ME⋅(AE+AF)=ME⋅2⋅AE
• Vì AE = AF, nên ��=2⋅��EF=2⋅AE. Thay vào biểu thức trên, ta có: �MD⋅EF=2⋅ME⋅AE Từ đó, ta suy ra MD⋅2⋅AE=2⋅ME⋅AE, hay MD=2⋅ME.
• Vậy ta đã chứng minh được MD bình = ME × MF.