a) Để chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp, ta cần chứng minh góc HOD = góc HED.

Vì AD là tiếp tuyến với (O, R), nên góc AOD là góc vuông. Do đó, góc HOD cũng là góc vuông.

Tương tự, vì EH là tiếp tuyến tại E của (O, R), nên góc EOH cũng là góc vuông.

Vì cả hai góc HOD và HED đều là góc vuông, nên tứ giác OHDE là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh ED² = EC * EB, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và đường chéo trong hình tròn.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: HE * ED = CE * EB.

Từ đó, ta có: ED² = (HE * ED) = (CE * EB).

Vậy, đã chứng minh được ED² = EC * EB.

c) Để chứng minh HI // AB, ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác.

Vì EO // CI và AI là đường chéo của tam giác ABC, nên theo nguyên lý chia tỉ lệ trong tam giác, ta có: (EC/EA) = (OI/IA).

Nhưng từ (b), ta đã biết rằng ED² = EC * EB. Vì vậy, ta có: (EC/EA) = (ED²/EB²).

Kết hợp hai công thức trên, ta có: (ED²/EB²) = (OI/IA).

Do đó, HI // AB.

d) Để chứng minh DM = DN, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và đường chéo trong hình tròn.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: DE * DB = DM * DN.

Nhưng từ (b), ta đã biết rằng ED² = EC * EB. Vì vậy, ta có: DE * DB = ED².

Từ đó, ta có: ED² = DM * DN.

Vậy, đã chứng minh được DM = DN.