a) Ta có trung tuyến AM, do đó AM chia BC thành hai phần bằng nhau. Khi đó, M là trung điểm của AD, nghĩa là AM cũng chia AD thành hai phần bằng nhau. Do đó, ta có AM = MD.

Xét tứ giác AMAC và AMDB. Ta có AM = MD (vừa chứng minh), AC = BD (do BD || AC theo giả thiết tam giác ABC nhọn và AM là trung tuyến), và góc AMAC = góc AMDB (cùng là góc A). Từ đó, ta suy ra tứ giác AMAC và AMDB là tứ giác cân, và do đó AMAC = AMDB.

Vì AMAC = AMDB và BD || AC, nên ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi N là trung điểm của AC. Ta cần chứng minh M là trung điểm của KN.

Xét tứ giác MNKD. Ta có NM || BD (do NM là đường trung bình của tam giác ABC) và ND || BM (do M là trung điểm của AD). Vì NM || BD và ND || BM, theo định lí thales, ta có điểm K nằm trên đường thẳng MN và cắt đường thẳng BD tại K. Do đó, ta có MK = KN.

Vì M là trung điểm của KN, nên ta có điều phải chứng minh.

c) Gọi I là trung điểm của AK và P là trung điểm của AB.

Xét tam giác AKP. Ta có AI || BP (vì I và P lần lượt là trung điểm của AK và AB) và IP || BK (do I là trung điểm của AK và K là trung điểm của BN). Vì AI || BP và IP || BK, theo định lí thales, ta có điểm C nằm trên đường thẳng AP và cắt đường thẳng BK tại C. Do đó, ta có AM/MP = AC/CP.

Xét tam giác MPN. Ta có NI || PM (do I là trung điểm của AK và N là trung điểm của AC) và NP || MC (do N là trung điểm của AC và C là trung điểm của BI). Vì NI || PM và NP || MC, theo định lí thales, ta có điểm I nằm trên đường thẳng MN và cắt đường thẳng CP tại I. Do đó, ta có NI/IM = NC/CM.

Vì AM/MP = AC/CP và NI/IM = NC/CM, ta suy ra ba đường thẳng AM, CP, NI đồng quy (đi qua một điểm chung).