a) Để chứng minh AMON là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc MNO bằng góc MAO.

Ta có:
Góc MBC = Góc MNC (do cùng chắn cung MB trên đường tròn (O))
Góc MCA = Góc MNA (do cùng chắn cung MA trên đường tròn (O))

Vì góc ACB = góc NCB (hai góc ở chóc cùng bên)
Và góc ACM = góc ANM (hai góc ở chóc cùng bên)

Nên ta có:
Góc MNO = Góc MNC - Góc NCB = Góc MBC - Góc ACM = Góc MAO

Do đó, tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh AKB = ACO, ta cần chứng minh rằng hai tam giác AKB và ACO đồng dạng.

Ta có:
Góc AKB = Góc ACB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (O))
Góc ACO = Góc ABC (góc ngoài của tam giác ABC)

Vì hai góc AKB và ACO đều bằng góc ACB, nên ta có hai tam giác AKB và ACO đồng dạng (theo trường hợp góc-góc-góc).

c) Để chứng minh rằng khi A thay đổi trên tia đối của tia BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định, ta cần chứng minh rằng MN đi qua trung điểm H của BC.

Ta có:
MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (A và (O))
Mà trung điểm của tiếp tuyến chung MN và BC là H (do đường tiếp tuyến chung đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng nối từ tâm đến tiếp điểm)

Vì vậy, ta có MN đi qua trung điểm H của BC, điểm này không thay đổi khi A di chuyển trên tia đối của BC.

Do đó, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi trên tia đối của tia BC.