a) Để chứng minh tứ giác BHNC nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường tròn và tam giác vuông.

Ta biết tam giác ABC là tam giác vuông tại B và nội tiếp đường tròn (O), nghĩa là đường phân giác của góc ABC cùng với đường thẳng AO đi qua trung điểm của cạnh BC. Do đó, ta có:

∠ABC = ∠ACB = 90°

Ta kẻ đường cao BH của tam giác ABC, vì vậy ∠BHC = 90°. Điều này có nghĩa là tứ giác BHNC nội tiếp trong một đường tròn.

b) Để chứng minh tam giác HIC là tam giác vuông, ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác và các góc.

Kẻ tia HM cắt BC tại điểm I. Vì AM vuông góc với BD và ∠HBA = ∠HBC = 90°, ta có:

∠MHB = ∠IHB (cùng phân giác) ∠BHM = ∠BHI (cùng phân giác)

Do đó, tam giác MHB và tam giác IHB có cùng hai góc bằng nhau, từ đó suy ra chúng đồng dạng (cùng đồng dạng).

Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác MHB và tam giác ABC đồng dạng. Từ đó, ta có:

∠IHB = ∠BHM = ∠ABC = 90°

Vì vậy, tam giác HIC có một góc vuông tại I, chứng minh tam giác HIC là tam giác vuông.

c) Để chứng minh ON.DC = OD.MH, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác ABC và các tỉ lệ.

Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên theo tính chất của đường cao, ta có:

ON.DC = OD.MH

Bên cạnh đó, ta biết tam giác MHB và tam giác ABC đồng dạng (đã chứng minh ở bước b), nên ta có tỉ lệ:

MH/BC = BH/AC

Từ đó, ta có:

OD.MH/BC = OD.BH/AC

Do BH/AC = 1/2 (vì BH là đường cao trong tam giác ABC), nên ta có:

OD.MH/BC = OD/2

Nhưng OD/BC = 1/2 (vì OD là bán kính đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và BD là đường đường kính của đường tròn), vì vậy ta có:

OD.MH/BC = OD/2 = 1/2

Từ đó, ta suy ra:

ON.DC = OD.MH

Vậy, chúng ta đã chứng minh được ON.DC = OD.MH.

a) Để chứng minh tứ giác BHNC nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường tròn và tam giác vuông.

Ta biết tam giác ABC là tam giác vuông tại B và nội tiếp đường tròn (O), nghĩa là đường phân giác của góc ABC cùng với đường thẳng AO đi qua trung điểm của cạnh BC. Do đó, ta có:

∠ABC = ∠ACB = 90°

Ta kẻ đường cao BH của tam giác ABC, vì vậy ∠BHC = 90°. Điều này có nghĩa là tứ giác BHNC nội tiếp trong một đường tròn.

b) Để chứng minh tam giác HIC là tam giác vuông, ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác và các góc.

Kẻ tia HM cắt BC tại điểm I. Vì AM vuông góc với BD và ∠HBA = ∠HBC = 90°, ta có:

∠MHB = ∠IHB (cùng phân giác) ∠BHM = ∠BHI (cùng phân giác)

Do đó, tam giác MHB và tam giác IHB có cùng hai góc bằng nhau, từ đó suy ra chúng đồng dạng (cùng đồng dạng).

Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác MHB và tam giác ABC đồng dạng. Từ đó, ta có:

∠IHB = ∠BHM = ∠ABC = 90°

Vì vậy, tam giác HIC có một góc vuông tại I, chứng minh tam giác HIC là tam giác vuông.

c) Để chứng minh ON.DC = OD.MH, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác ABC và các tỉ lệ.

Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên theo tính chất của đường cao, ta có:

ON.DC = OD.MH

Bên cạnh đó, ta biết tam giác MHB và tam giác ABC đồng dạng (đã chứng minh ở bước b), nên ta có tỉ lệ:

MH/BC = BH/AC

Từ đó, ta có:

OD.MH/BC = OD.BH/AC

Do BH/AC = 1/2 (vì BH là đường cao trong tam giác ABC), nên ta có:

OD.MH/BC = OD/2

Nhưng OD/BC = 1/2 (vì OD là bán kính đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và BD là đường đường kính của đường tròn), vì vậy ta có:

OD.MH/BC = OD/2 = 1/2

Từ đó, ta suy ra:

ON.DC = OD.MH

Vậy, chúng ta đã chứng minh được ON.DC = OD.MH.