Để viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1, -2) và đi qua điểm M(2, -1), ta sử dụng công thức phương trình đường tròn chung:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Trong đó, (h, k) là tọa độ tâm của đường tròn và r là bán kính của đường tròn.

Theo yêu cầu bài toán, tâm I là điểm (1, -2) và đường tròn đi qua điểm M(2, -1). Để tìm bán kính, ta tính khoảng cách giữa tâm I và điểm M:

r = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
  = sqrt((2 - 1)² + (-1 - (-2))²)
  = sqrt(1² + 1²)
  = sqrt(2)

Vậy, bán kính của đường tròn là sqrt(2).

Thay các giá trị vào phương trình đường tròn chung:

(x - 1)² + (y + 2)² = 2

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1, -2) và đi qua điểm M(2, -1) là:

(x - 1)² + (y + 2)² = 2

Để viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và đi qua điểm M, ta cần tìm bán kính R của đường tròn.

Theo định nghĩa, bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn. Vì (C) đi qua điểm M, ta có:

R = IM = sqrt((x_M - x_I)^2 + (y_M - y_I)^2)
= sqrt((2 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2)
= sqrt(2 + 1)
= sqrt(3)

Vậy bán kính của (C) là R = sqrt(3).

Do đó, phương trình đường tròn (C) có tâm I và đi qua điểm M là:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3

hoặc

x^2 - 2x + y^2 + 4y = 0

(đây là phương trình đường tròn khi chuyển tất cả các thành phần qua cùng một vế và hoàn thành khối vuông).