a) Để chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m, ta thực hiện phép đặt giá trị của y từ đường thẳng (d) vào phương trình của parabol (P) và kiểm tra điều kiện cắt nhau.

Đường thẳng (d) có phương trình y = (2m-1)x + m+1.

Thay giá trị của y từ đường thẳng (d) vào phương trình của parabol (P):

(2m-1)x + m+1 = x^2

Ta có phương trình trên là một phương trình bậc hai. Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện delta (biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong công thức giải phương trình bậc hai) lớn hơn 0.

Delta = b^2 - 4ac

= 0^2 - 4(1)(m+1)

= -4m - 4

Để delta > 0, ta cần -4m - 4 > 0, tức là m < -1.

Vậy với m < -1, đường thẳng (d) sẽ cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.