a) Ta có $\angle BNM = \angle BMC = 90^\circ - \angle BAC = \angle BIC$, do đó tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn $(O_1)$ có đường chéo BM là đường chính của nó. Tương tự, ta có tứ giác ABCI nội tiếp đường tròn $(O_2)$ có đường chéo AC là đường chính của nó.

b) Ta có $\angle ANM = \angle AMC = 90^\circ - \angle MAC = \angle ABI$. Từ đó suy ra $\angle ANI = \angle ANM + \angle INM = \angle ABI + \angle BIC = \angle AIC$, do đó NM là tia phân giác của góc ANI.

c) Gọi P là giao điểm của BM và EN. Ta sẽ chứng minh rằng P là trung điểm của EN.

Ta có $\angle BNE = \angle BNM = \angle BIC$, do đó BNCI nội tiếp đường tròn $(O_3)$ có đường chéo BC là đường chính của nó. Từ đó suy ra $\angle BCI = \angle BNI = \angle BNE$, do đó tam giác BNE đồng dạng với tam giác BCI.

Tương tự, ta có tam giác CEM đồng dạng với tam giác ABI. Do đó, ta có $\frac{BN}{BC} = \frac{NE}{CI}$ và $\frac{CI}{AB} = \frac{ME}{BN}$. Từ đó suy ra:

$\frac{NE}{AB} = \frac{NE}{CI} \cdot \frac{CI}{AB} = \frac{BN}{BC} \cdot \frac{ME}{BN} = \frac{ME}{BC}$

Do đó, ta có $\frac{NE}{ME} = \frac{AB}{BC}$. Từ đó suy ra tam giác AEN đồng dạng với tam giác MEC.

Gọi Q là giao điểm của AC và BM. Ta có $\angle QEC = \angle QAC = \angle BAC = \angle BNM = \angle BNE$, do đó tam giác QEC đồng dạng với tam giác BNE. Tương tự, ta có tam giác QCB đồng dạng với tam giác MEC.

Do đó, ta có $\frac{NE}{ME} = \frac{QC}{QB}$. Từ đó suy ra tam giác AEN đồng dạng với tam giác QCB.

Kết hợp với việc tam giác AEN đồng dạng với tam giác MEC, ta có tam giác MEC đồng dạng với tam giác QCB. Do đó, ta có $\frac{KH}{HE} = \frac{QC}{QB} = \frac{NE}{ME}$.

Vậy ta có $\frac{KH}{HE} = \frac{NE}{ME}$, tức là KH//EN. Kết hợp với b), ta có KH//NM. Do đó, ta có KH//EN//NM.