Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp phân tích thành các tỉ số bậc nhất.

Để đơn giản hóa, gọi đa thức dư cần tìm là R(x).

Theo giả thiết, ta có:

f(x) = Q(x)(x+5)(x^2+5x+6) + R(x)

Với Q(x) là đa thức thương khi chia f(x) cho (x+5)(x^2+5x+6).

Để tìm R(x), ta sẽ sử dụng hai giả thiết đã cho:

- f(x) chia cho x+5 được số dư bằng 76:

f(-5) = 76

- f(x) chia cho x^2+5x+6 được số dư bằng -14x-12:

f(x) = (x^2+5x+6)Q_1(x) - 14x - 12

Trong đó Q_1(x) là đa thức thương khi chia f(x) cho x^2+5x+6.

Để tìm Q_1(x), ta sẽ chia đa thức -14x-12 cho x^2+5x+6:

-14x - 12 = (Ax + B)(x+2) + C

Với A, B, C là các hằng số cần tìm.

Thực hiện phép chia, ta được:

-14x - 12 = Ax^2 + (2A+B)x + (2B+C)

So sánh hệ số của các bậc của x, ta có hệ phương trình:

A = 0

2A + B = -14

2B + C = -12

Từ đó, ta suy ra:

A = 0

B = -14

C = 16

Vậy, Q_1(x) = -14x + 16.

Tiếp theo, ta sẽ tìm Q(x) bằng cách chia f(x) cho (x+5)(x^2+5x+6):

f(x) = Q(x)(x+5)(x^2+5x+6) - 14x - 12

f(x) = Q(x)(x^3+10x^2+31x+30) - 14x - 12

So sánh hệ số của các bậc của x, ta có hệ phương trình:

Q(x) = 0

5Q(x) - 14 = 76

6Q(x) - 12 = 0

Từ đó, ta suy ra:

Q(x) = 2

Vậy, R(x) = f(x) - Q(x)(x+5)(x^2+5x+6) = -4x - 2.

Vậy, đa thức dư của phép chia f(x) cho (x+5)(x^2+5x+6) là -4x - 2.