1. Ta có $\angle BFC = \angle BEC = 90^\circ$, nên tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
2. Ta có $\angle KBF = \angle KCE$ (vì $BF \parallel CE$ do $BE$ và $CF$ cùng là đường cao của tam giác $ABC$), và $\angle KFB = \angle KEC$ (vì tứ giác BCEF nội tiếp). Vậy hai tam giác $KBF$ và $KEC$ đồng dạng. Từ đó suy ra $KB.KC = KF.KE$ (do đồng dạng).
3. Ta có $\angle AFG = \angle AEG = 90^\circ$ (vì $AF$ và $AE$ là đường cao của tam giác $ABC$), nên tứ giác $AFGE$ là tứ giác nội tiếp. Ta cần chứng minh thêm $G$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $HEF$. Ta có:
$$\angle HGE = \angle HFA = 90^\circ - \angle BAC = \angle HEC,$$
vậy $G$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $HEF$.
4. Ta cần chứng minh $HI \perp AK$. Gọi $M$ là trung điểm $EF$. Ta có $HM \parallel BC$ (vì $EF \parallel BC$), $IM \parallel AK$ (vì $IM$ là đường trung trực của $BC$), và $HI \parallel EF$ (vì $HI$ song song với $BC$ và vuông góc với $BC$ tại $I$). Vậy $HI \perp AK$ (do hai đường thẳng $HM$ và $IM$ cùng vuông góc với $AK$).