Cho tam giác ABC có góc >90 độ, Các đường trung trực của AB của AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E

a) Ta có đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng DE, do đó OA vuông góc với DE và cắt DE ở trung điểm M của DE.



Trong tam giác ABD, ta có đường thẳng OA là đường trung trực của AB, do đó OA vuông góc với AB và cắt AB ở trung điểm N của AB. Vì vậy, ta có:

- AD = BD (cùng là đường cao của tam giác ABD)
- AN = NB (cùng là nửa chu vi của tam giác ABD)
- $\angle{AND} = \angle{BND} = 90^\circ$ (vì OA vuông góc với AB)

Vậy tam giác ABD là tam giác cân tại N.



Tương tự, trong tam giác ACE, ta có đường thẳng OA là đường trung trực của AC, do đó OA vuông góc với AC và cắt AC ở trung điểm P của AC. Vì vậy, ta có:

- AE = CE (cùng là đường cao của tam giác ACE)
- AP = PC (cùng là nửa chu vi của tam giác ACE)
- $\angle{APC} = \angle{EPC} = 90^\circ$ (vì OA vuông góc với AC)

Vậy tam giác ACE là tam giác cân tại P.

b) Ta đã chứng minh được rằng OA là đường trung trực của DE, do đó OA cắt DE ở trung điểm M của DE. Vậy ta có:

- OM = ME (vì M là trung điểm của DE)
- $\angle{OMD} = \angle{EMD} = 90^\circ$ (vì OA vuông góc với DE)

Vậy tam giác OMD và OME là hai tam giác vuông cân tại M, do đó ta có:

- OD = OE (cùng là đường cao của tam giác OMD và OME)
- $\angle{ODM} = \angle{OEM}$ (cùng là góc nhọn của tam giác OMD và OME)

Vậy tam giác OMD và OME là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung OM và góc giữa bằng nhau), do đó ta có:

- $\frac{OA}{OD} = \frac{OM}{OD} = \frac{OM}{OE} = \frac{OA}{OE}$

Vậy ta có OA bằng đoạn thẳng OE và OD.