Bài 2. Đây là một bài toán sử dụng định lý của Dirichlet về phân bố màu sắc. Ta xem xét một lưới hình vuông cạnh 1 trên mặt phẳng. Như vậy, mỗi tam giác ABC có thể được chia thành nhiều hơn là 4 tam giác nhỏ hơn, mỗi tam giác có diện tích nhỏ hơn 1/4 diện tích tam giác ban đầu và có dạng giống với ABC. Vì vậy, một trong những tam giác nhỏ này phải chứa ít nhất 3 điểm màu xanh (nếu không thì số điểm màu đỏ sẽ vượt quá tổng số điểm trên mặt phẳng). Như vậy, hoặc ta có hai điểm màu đỏ cách nhau 1 đơn vị, hoặc ta có một tam giác màu xanh đồng dạng với ABC.

Bài 3. Xét dãy a_i (1 <= i <= 20) là tổng số viên bi màu xanh và viên bi màu đỏ từ viên thứ nhất đến viên thứ i. Khi thêm một viên bi màu xanh vào dãy, a_i tăng lên 1, khi thêm một viên bi màu đỏ, a_i giảm đi 1. Do vậy, a_i chính là số lượng viên bi màu xanh trừ số lượng viên bi màu đỏ từ viên thứ nhất đến viên thứ i. Ta thấy rằng, nếu có hai giá trị a_i và a_j bằng nhau, thì ta có thể chọn ra một dãy liên tiếp từ i đến j (hoặc ngược lại) mà số lượng viên bi màu xanh bằng số lượng viên bi màu đỏ. Vì a_i có thể nhận giá trị từ -10 đến 10, ta có 21 giá trị có thể. Vì vậy, theo nguyên lý Dirichlet, trong dãy 20 số a_i này, sẽ có ít nhất hai số bằng nhau, từ đó suy ra đáp án.

Bài 6. 
a) Đầu tiên, phân tích 62023 = 11 * 13 * 17 * 23 * 19. Ta thấy có 5 ước nguyên tố khác nhau. Nếu k = 5 thì ta phải chọn tất cả các ước này. Bây giờ xét tích của hai số bất kì trong 5 số này, ta thấy không có tích nào là số chính phương. Tuy nhiên, nếu ta xem xét tổng tất cả 5 ước này, tức là 11 + 13 + 17 + 23 + 19 = 83, ta thấy đây là một số chính phương. Vậy nếu k = 5, tồn tại hai số có tích là số chính phương.

b) Nếu k = 21, ta phải chọn tất cả các ước của 62023, bao gồm cả 1 và 62023. Ta thấy rằng, 1 và 62023 cùng với bất kì tổ hợp nào gồm 4 ước nguyên tố còn lại đều tạo thành một tích là một lũy thừa bậc 6. Vậy nếu k = 21, tồn tại sáu số có tích là một lũy thừa bậc 6.