a, Ta có:
S = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁹
Nhân cả hai vế của phương trình trên với 5, ta được:
5S = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰
Trừ hai phương trình trên, ta được:
5S - S = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰ - (5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁹)
Simplifying the left side and factoring the right side, we get:
4S = 5²⁰ - 5
4S = 5(5¹⁹ - 1)
Do 31 là số nguyên tố cùng nhau với 5, nên ta chỉ cần chứng minh rằng 4S chia hết cho 31.
Ta có:
5¹⁹ ≡ 1 (mod 31) (do 5 và 31 cùng nhau)
Vậy:
4S ≡ 5(1 - 1) ≡ 0 (mod 31)
Do đó, S chia hết cho 31.

b, Ta cần kiểm tra xem số 4s có phải là số chính phương hay không. Ta tính giá trị của S:
S = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁹
Ta thấy rằng S là tổng của các số lũy thừa của 5. Vì 5 là số lẻ, nên mỗi số lũy thừa của 5 cũng là số lẻ. Vậy tổng của chúng là số lẻ. Do đó, 4S là số chẵn và không phải là số chính phương. Vậy, 4S không phải là số chính phương.