a, Ta có:
$$S = 5 + 5^2 + 5^3 +...+ 5^{19}$$
Nhân cả hai vế với 5, ta được:
$$5S = 5^2 + 5^3 + 5^4 +...+ 5^{20}$$
Trừ hai phương trình trên, ta được:
$$4S = 5^{20} - 5$$
Ta thấy được rằng $5^{20} \equiv 1 \pmod{31}$ theo định lý Fermat nên:
$$4S \equiv 1 - 5 \equiv -4 \equiv 27 \pmod{31}$$
Vậy $S$ chia hết cho 31.

b, Ta có:
$$4S = 4(5 + 5^2 + 5^3 +...+ 5^{19}) = 5^2 + 5^3 + 5^4 +...+ 5^{20}$$
Nhân cả hai vế với 5, ta được:
$$20S = 5^3 + 5^4 + 5^5 +...+ 5^{21}$$
Trừ hai phương trình trên, ta được:
$$16S = 5^{21} - 5^2$$
Ta thấy được rằng $5^{21} \equiv 5 \pmod{16}$ nên:
$$16S \equiv 5 - 25 \equiv -20 \equiv 12 \pmod{16}$$
Vậy $4S$ không phải là số chính phương.