Ta có:

a^2/a^2+b + b^2/b^2+a = a^4/(a^4 + a^2b^2) + b^4/(b^4 + a^2b^2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

a^4/(a^4 + a^2b^2) + b^4/(b^4 + a^2b^2) >= (a^2 + b^2)^2 / (a^4 + b^4 + 2a^2b^2)

Do đó, ta cần chứng minh:

(a^2 + b^2)^2 / (a^4 + b^4 + 2a^2b^2) <= 1

Tương đương với:

a^4 + b^4 + 2a^2b^2 >= (a^2 + b^2)^2

a^4 + b^4 + 2a^2b^2 >= a^4 + b^4 + 2a^2b^2

Điều này luôn đúng. Vậy ta có:

a^2/a^2+b + b^2/b^2+a <= 1

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.