Ta có thể sử dụng định lý Viète để giải bài toán này. Đặt x = a^5 và y = b^5, ta có hệ phương trình sau:

x^2 + y^2 = x^3 + y^3 = x^4 + y^4

Từ đó, ta có thể suy ra:

x^3 - x^2 = y^3 - y^2

x^4 - x^3 = y^4 - y^3

Do đó, ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách đặt t = x - y. Khi đó, ta có:

x^2 + y^2 = 2t^2 + 2y^2

x^3 + y^3 = 3t^2(x + y) + 3y^3

x^4 + y^4 = 4t^2(x^2 + y^2) + 6t^2y^2 + 4y^4

Thay các giá trị này vào hệ phương trình ban đầu, ta được:

2t^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 = a^10 + b^10

3t^2(x + y) + 3y^3 = x^3 + y^3 = a^15 + b^15

4t^2(x^2 + y^2) + 6t^2y^2 + 4y^4 = x^4 + y^4 = a^20 + b^20

Từ đó, ta có thể giải hệ phương trình này để tìm ra giá trị của x, y, và sau đó tính được a và b. Cuối cùng, ta có thể tính P = a^2021 + b^2021. Tuy nhiên, quá trình giải hệ phương trình này khá phức tạp và không thể trình bày chi tiết trong phạm vi của câu hỏi này.