a) Ta có điểm E là điểm đối xứng của M qua AB, nghĩa là ME = MA. Tương tự, điểm F là điểm đối xứng của M qua AC, nghĩa là MF = MA.

Vì ME = MA và MF = MA, nên ta có ME = MF. Điều này chứng tỏ A là trung điểm của đoạn thẳng EF.

b) Để EF có độ dài ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho đoạn thẳng EF là đoạn thẳng vuông góc với AB và AC.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, K là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Ta cần chứng minh HK là đường cao của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Ta cần chứng minh HK = AH. Ta có ME = MF, nghĩa là MH = MK. Vì MH = MK và AH vuông góc với AB và AC,

Ta có tam giác AHM và tam giác AHK đồng dạng.

Do đó, ta có AH/AM = AH/AH = HK/HM. Từ đó suy ra HK = AH. Vậy, để EF có độ dài ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho HK là đường cao của tam giác ABC.