a. Để tìm điều kiện xác định của P, ta cần xem xét các giá trị của x mà khi đưa vào biểu thức P thì không gây ra phép tính không xác định.

Trong biểu thức P = x/2x-2 + x^2 + 1/2 - 2x^2, ta thấy có các phép chia cho 0 và căn bậc 2 của số âm.

Điều kiện xác định của P là:
- 2x - 2 ≠ 0 (không được chia cho 0)
- 2x^2 - 1 ≥ 0 (không được có căn bậc 2 của số âm)

Giải phương trình 2x - 2 ≠ 0, ta có:
2x ≠ 2
x ≠ 1

Giải phương trình 2x^2 - 1 ≥ 0, ta có:
2x^2 ≥ 1
x^2 ≥ 1/2
x ≥ √(1/2) hoặc x ≤ -√(1/2)

Vậy, điều kiện xác định của P là x ≠ 1 và x ≥ √(1/2) hoặc x ≤ -√(1/2).

b. Để rút gọn biểu thức P, ta cần tìm một biểu thức đơn giản hơn mà có giá trị tương đương với P.

P = x/2x-2 + x^2 + 1/2 - 2x^2
= (x + 1/2) / (2x - 2) + (x^2 - 2x^2)
= (x + 1/2) / (2x - 2) - x^2

c. Để tìm giá trị của x mà P = -1/2, ta thay P = -1/2 vào biểu thức P và giải phương trình:

-1/2 = x/2x-2 + x^2 + 1/2 - 2x^2

Rearranging the equation, we get:

x/2x-2 + x^2 + 1/2 - 2x^2 = -1/2

Simplifying the equation, we get:

x/2x-2 - 2x^2 = -1

Multiplying both sides by 2x-2, we get:

x - 2x^2(2x-2) = -1(2x-2)

Expanding and simplifying, we get:

x - 4x^3 + 4x^2 - 4x = -2x + 2

Rearranging the equation, we get:

4x^3 - 4x^2 + 3x - 2 = 0

To solve this equation, we can use numerical methods or factoring techniques.