Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) \( A = 9x^2 - 6x - 1 \)

Đây là một hàm bậc hai với \( a = 9 \), \( b = -6 \), và \( c = -1 \).

Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai xảy ra tại:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
\]

Thay giá trị \( x = \frac{1}{3} \) vào biểu thức \( A \):

\[
A\left(\frac{1}{3}\right) = 9\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 6\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 9 \cdot \frac{1}{9} - 2 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là **-2**.

### b) \( B = 2x^2 + y^2 - 4x + 8y - 5 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ hoàn thành bình phương cho cả \( x \) và \( y \).

1. Với \( x \):
\[
2x^2 - 4x \Rightarrow 2\left(x^2 - 2x\right) = 2\left((x - 1)^2 - 1\right) = 2(x - 1)^2 - 2
\]

2. Với \( y \):
\[
y^2 + 8y \Rightarrow (y^2 + 8y + 16 - 16) = (y + 4)^2 - 16
\]

Thay vào biểu thức \( B \):
\[
B = 2\left((x - 1)^2 - 1\right) + \left((y + 4)^2 - 16\right) - 5
\]
\[
B = 2(x - 1)^2 - 2 + (y + 4)^2 - 16 - 5 = 2(x - 1)^2 + (y + 4)^2 - 23
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( B \) xảy ra khi \( 2(x - 1)^2 = 0 \) và \( (y + 4)^2 = 0 \), tức là:

\[
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
\]
\[
y + 4 = 0 \Rightarrow y = -4
\]

Thay \( x = 1 \) và \( y = -4 \) vào \( B \):

\[
B = 2(0) + (0) - 23 = -23
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là **-23**.

### c) \( C = (x+3)(2x-5) \)

Mở rộng biểu thức:

\[
C = 2x^2 + 6x - 5
\]

Đây là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 2 \), \( b = 6 \), và \( c = -5 \).

Tính giá trị nhỏ nhất tại:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}
\]

Thay giá trị \( x = -\frac{3}{2} \) vào biểu thức \( C \):

\[
C\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) - 5
\]
\[
= 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 - 5 = \frac{18}{4} - 9 - 5 = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} - \frac{20}{4} = \frac{18 - 36 - 20}{4} = \frac{-38}{4} = -\frac{19}{2}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( C \) là **-9.5**.

### Tổng kết:
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là **-2**.
- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là **-23**.
- Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là **-9.5**.