a, Ta có:
$\angle BAC = 90^\circ$
$\angle BHA = 90^\circ$
$\Rightarrow \angle BAC = \angle BHA$
$\Rightarrow \triangle HBA \sim \triangle ABC$

b, Ta có:
$\triangle HBA \sim \triangle ABC$
$\Rightarrow \frac{HB}{AB} = \frac{AB}{BC}$
$\Rightarrow \frac{HB}{15} = \frac{15}{BC}$
$\Rightarrow HB = \frac{15^2}{BC}$
$\Rightarrow BC = \frac{15^2}{HB}$

Trong tam giác vuông HBA, ta có:
$HB^2 = HA^2 + AB^2$
$\Rightarrow HB^2 = HA^2 + 15^2$
$\Rightarrow \frac{15^4}{BC^2} = HA^2 + 15^2$
$\Rightarrow HA^2 = \frac{15^4}{BC^2} - 15^2$
$\Rightarrow HA = \sqrt{\frac{15^4}{BC^2} - 15^2}$

c, Đường thẳng qua H và song song với BC cắt AB tại E. Ta có:
$\angle HAE = \angle BAC = 90^\circ$
$\Rightarrow AE \perp BC$
$\Rightarrow AE \parallel HD$
$\Rightarrow ABDE$ là hình bình hành

d, Ta có:
$AE = AB = 15$ cm

e, Diện tích tứ giác ABCE là tổng diện tích hai tam giác ABH và AEC. Ta có:
$S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot HB = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{15^2}{BC} = \frac{15^3}{2BC}$
$S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot EC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot BC = \frac{15BC}{2}$
$S_{ABCE} = S_{ABH} + S_{AEC} = \frac{15^3}{2BC} + \frac{15BC}{2} = \frac{15^3 + 15BC^2}{2BC}$