a. Ta có tam giác MIK cân tại M, do đó IM = IK.
Vì MH và IE là hai đường cao của tam giác MIK, nên ta có:
- Tam giác IMH vuông tại H, do đó theo định lý Pythagoras, ta có: IH^2 = IM^2 - MH^2.
- Tam giác IEM vuông tại E, do đó theo định lý Pythagoras, ta có: IE^2 = IM^2 - EM^2.
Vì IM = IK, nên ta có: IH^2 = IE^2 - MH^2.
b. Ta có AI vuông góc với IK tại I, do đó tam giác AIK vuông tại A.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AIK, ta có: AK^2 = AI^2 + IK^2.
Vì AI = 2MH, nên ta có: AK^2 = (2MH)^2 + IK^2 = 4MH^2 + IK^2.
c. Ta có: 1/IE^2 = 1/(IM^2 - EM^2) = 1/(IK^2 - EM^2) (vì IM = IK).
Vì EM là đường cao của tam giác KIM, nên ta có: EM^2 = IK^2 - KM^2.
Thay vào công thức trên, ta có: 1/IE^2 = 1/(IK^2 - (IK^2 - KM^2)) = 1/(KM^2) = 1/KM^2.
Do đó, 1/IE^2 = 1/KM^2 + 1/4MH^2.
d. Ta có tam giác KEH có hai góc K và H bằng nhau (vì MH và IE là hai đường cao của tam giác MIK).
Vì tam giác MIK cân tại M, nên góc KIM = góc KMI.
Vì tam giác KEH có hai góc K và H bằng nhau, nên góc KEH = góc KHE.
Do đó, tam giác KEH ∼ tam giác KIM (vì có hai góc bằng nhau).
e. Ta có tam giác MIK cân tại M, do đó góc KIM = góc KMI.
Vì tam giác KEH ∼ tam giác KIM, nên góc KEH = góc KMI.
Vì góc KIM = góc KMI, nên góc KEH = góc KHE.
Do đó, tam giác KEH cân tại H (có hai góc bằng nhau).