Để chứng minh các phương trình trên, ta sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của hình thang.

a) Ta có OH là đường cao của tam giác OAB, nên OH^2 = OA^2 - AH^2.
Tương tự, ta có HB là đường cao của tam giác OCB, nên HB^2 = OC^2 - HC^2.
Vì O là trung điểm của AC, nên OA = OC và AH = HC.
Do đó, OH^2 + HB^2 = OA^2 - AH^2 + OC^2 - HC^2 = OA^2 + OC^2 = OK^2 + KD^2 (vì K là trung điểm của AB và CD).

b) Nếu AB = CD, ta có HK là đường cao của tam giác ABC và tam giác CDA.
Vì HK là đường cao của tam giác ABC, nên HK^2 = HB^2 - KB^2.
Tương tự, ta có HK^2 = KD^2 - HC^2.
Vì HB^2 = KD^2 (vì AB = CD), nên HK^2 = HB^2 - KB^2 = KD^2 - HC^2.
Do đó, KB^2 = HC^2 và vì K là trung điểm của AB, nên KB = HC.
Vậy CH = OK.

c) Nếu OH = OK, ta có OH^2 = OK^2.
Từ phần a), ta có OH^2 + HB^2 = OK^2 + KD^2.
Vì OH^2 = OK^2, nên HB^2 = KD^2.
Vì HB = KD (vì AB = CD), nên HB = KD.
Vậy AB = CD.

Vậy, các phương trình đã được chứng minh.