a) Tính AB, AH:
Vì ΔABC vuông tại A, nên ta có:
AB² = BC² - AC² (định lý Pythagoras)
AB² = 5² - (AC + AH)² (1)
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC = 5/2 cm.
Vì D là trung điểm của AC, nên AD = DC = AC/2.
Vì đường trung trực của BC cắt AC tại D, nên ta có:
AD² = AB² - BD² (định lý Pythagoras)
(AC/2)² = AB² - (BC/2)²
AC²/4 = AB² - 25/4 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
AB² = 5² - (AC + AH)²
AC²/4 = AB² - 25/4
Giải hệ phương trình trên, ta có:
AB ≈ 4.6 cm
AH ≈ 3.8 cm

b) Tính tỉ số diện tích của ΔDMC và ΔABC:
Vì M là trung điểm của BC, nên diện tích của ΔDMC là 1/2 diện tích của ΔABC.
Vậy tỉ số diện tích của ΔDMC và ΔABC là 1/2.

c) Chứng minh: AC . DC = 1/2 BC²
Vì D là trung điểm của AC, nên AD = DC = AC/2.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC = BC/2.
Vậy ta có:
AC . DC = AC . (AC/2) = AC²/2
BC² = BM² + MC² = (BC/2)² + (BC/2)² = BC²/4 + BC²/4 = BC²/2
Vậy AC . DC = 1/2 BC².

d) Tính diện tích tứ giác ADMB:
Diện tích tứ giác ADMB là tổng diện tích của hai tam giác ΔADM và ΔBDM.
Vì AD = DC và BM = MC, nên diện tích của ΔADM và ΔBDM bằng nhau.
Vậy diện tích tứ giác ADMB là gấp đôi diện tích của ΔADM hoặc ΔBDM.
Vậy diện tích tứ giác ADMB bằng diện tích của ΔADM hoặc ΔBDM.