Để chứng minh C = -1/2x^4 - 2.5x^2 - 3 âm với mọi giá trị của biến x, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích hàm số.

Đầu tiên, ta xét hàm số f(x) = -1/2x^4 - 2.5x^2 - 3. Ta sẽ tìm điểm cực trị của hàm số này.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x)
f'(x) = -2x^3 - 5x

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm điểm cực trị
-2x^3 - 5x = 0
x(-2x^2 - 5) = 0
x = 0 hoặc -2x^2 - 5 = 0

Bước 3: Giải phương trình -2x^2 - 5 = 0
-2x^2 = 5
x^2 = -5/2
Phương trình này không có nghiệm thực, vì vậy ta chỉ có x = 0 là điểm cực trị.

Bước 4: Xét sự biến thiên của hàm số f(x) trên các khoảng xác định bằng cách sử dụng bảng biến thiên
Ta xét các khoảng xác định: (-∞, 0), (0, +∞)

Khoảng (-∞, 0):
- Chọn một giá trị x = -1 (nhỏ hơn 0) và tính f(-1):
f(-1) = -1/2(-1)^4 - 2.5(-1)^2 - 3 = -1/2 - 2.5 - 3 = -1/2 - 5/2 - 3 = -9/2 < 0

Khoảng (0, +∞):
- Chọn một giá trị x = 1 (lớn hơn 0) và tính f(1):
f(1) = -1/2(1)^4 - 2.5(1)^2 - 3 = -1/2 - 2.5 - 3 = -1/2 - 5/2 - 3 = -9/2 < 0

Bước 5: Kết luận
Với mọi giá trị của biến x, hàm số f(x) = -1/2x^4 - 2.5x^2 - 3 luôn âm.