a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Tia phân giác của góc B cắt AC tại E, nên góc BAE = góc EAC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ, suy ra góc BAE = góc EAC = 45 độ.

Do đó, tam giác ABE là tam giác cân tại A, nên AE = BE.

Vì AB = DB, nên tam giác ABD cũng là tam giác cân tại A, suy ra góc ABD = góc ADB.

Hai góc ABD và ADB có tổng bằng 180 độ (góc trong của tam giác), nên mỗi góc đều bằng 90 độ.

Vậy tam giác ABD là tam giác vuông tại D.

Do đó, góc ADB = 90 độ.

Vì góc ADB = góc ADE (do AB // DE), nên tam giác ADE cũng là tam giác vuông tại D.

Suy ra, AE = DE.

b) Ta đã chứng minh được AE = DE.

Góc ABD = góc ADB = 90 độ, nên tam giác ABD là tam giác vuông tại D.

Góc ADE = góc ADB = 90 độ, nên tam giác ADE cũng là tam giác vuông tại D.

Vậy tam giác ADE và tam giác DEC là hai tam giác vuông cân có cạnh chung AD.

Do đó, tam giác ADE = tam giác DEC.

c) Ta đã chứng minh được AE = DE.

Góc ABD = góc ADB = 90 độ, nên tam giác ABD là tam giác vuông tại D.

Góc ADE = góc ADB = 90 độ, nên tam giác ADE cũng là tam giác vuông tại D.

Vậy tam giác ADE và tam giác DEC là hai tam giác vuông cân có cạnh chung AD.

Do đó, góc AED = góc CED (góc giữa hai đường thẳng AB và DE).

Góc ADE = góc CDE (góc giữa hai đường thẳng AD và DE).

Vậy tam giác ADE và tam giác DEC có cặp góc tương đương, nên chúng là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, BE ⊥ CI.

d) Ta đã chứng minh được AE = DE.

Vì tam giác ADE là tam giác vuông tại D, nên DE là cạnh huyền của tam giác vuông ADE.

Theo định lý Pythagoras, ta có DE^2 = AE^2 + AD^2.

Vì AE = DE, nên DE^2 = 2AE^2.

Suy ra, AE^2 = DE^2/2.

Vậy, AC^2 = AE^2 + EC^2 > AE^2 + EC^2/2 = DE^2/2 + EC^2/2 = (DE^2 + EC^2)/2.

Do đó, AC^2 > (DE^2 + EC^2)/2.

Vì DE^2 + EC^2 > DE^2, nên AC^2 > DE^2.

Suy ra, AC > DE.

Vậy, AC > 2DE.