Cho tam giác ABC có AB bằng 6 cm và AC = 8 cm BC = 10 cm

a) Ta có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
6^2 + 8^2 = 10^2
36 + 64 = 100
100 = 100
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Ta có AH vuông góc với BC. Gọi BH = x và CH = 10 - x.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABH, ta có:
AB^2 + BH^2 = AH^2
6^2 + x^2 = AH^2
36 + x^2 = AH^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ACH, ta có:
AC^2 + CH^2 = AH^2
8^2 + (10 - x)^2 = AH^2
64 + (10 - x)^2 = AH^2

Vì AH^2 giống nhau trong cả hai phương trình, ta có:
36 + x^2 = 64 + (10 - x)^2
36 + x^2 = 64 + 100 - 20x + x^2
36 = 164 - 20x
20x = 128
x = 6.4

Vậy BH = 6.4 cm.

Từ đó, ta có MN là hình chiếu của H trên AC và M là hình chiếu của H trên AB. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên MN là đường cao của tam giác ABC. Do đó, MN = AH = 8 cm.

c) Diện tích tứ giác MHNA là diện tích hình chữ nhật MACH cộng với diện tích tam giác MHN.
Diện tích hình chữ nhật MACH là AC * AH = 8 * 8 = 64 cm^2.

Diện tích tam giác MHN là 1/2 * MN * AH = 1/2 * 8 * 8 = 32 cm^2.

Vậy diện tích tứ giác MHNA là 64 + 32 = 96 cm^2.

d) Góc AMN = góc ACB vì chúng là góc ở đỉnh và chắn cùng một cung MN trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.