Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I, r). M là trung điểm BC, AH ⊥ BC. MI cắt AH tại T

a) Ta có M là trung điểm BC nên AM là đường cao của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AH ⊥ BC và MT ⊥ BC.
Gọi N là giao điểm của IM và AH. Ta cần chứng minh AX // IM, tức là chứng minh tam giác ANM và tam giác AIX đồng dạng.
Ta có:
∠ANM = ∠AMN (vì tam giác ANM cân tại M)
∠AIX = ∠AXI (vì tam giác AIX cân tại I)
Vậy, ta cần chứng minh \(\frac{AN}{AM} = \frac{AI}{AX}\).
Ta có:
\(\frac{AN}{AM} = \frac{TN}{TM}\) (vì AN // IM)
\(\frac{AI}{AX} = \frac{TI}{TX}\) (vì AI // IX)
Vậy, ta cần chứng minh \(\frac{TN}{TM} = \frac{TI}{TX}\).
Ta có:
\(\frac{TN}{TM} = \frac{AN}{AM}\) (vì tam giác ANM và tam giác ATM đồng dạng)
\(\frac{TI}{TX} = \frac{AI}{AX}\) (vì tam giác AIX và tam giác TIX đồng dạng)
Vậy, ta cần chứng minh \(\frac{AN}{AM} = \frac{AI}{AX}\).
Từ đó, ta có tam giác ANM và tam giác AIX đồng dạng.
Do đó, ta có AX // IM.

b) Ta có M là trung điểm BC nên AM là đường cao của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AH ⊥ BC và MT ⊥ BC.
Gọi N là giao điểm của IM và AH.
Ta có:
AN // IM (do đã chứng minh ở câu a)
Vậy, ta có tam giác ANM và tam giác AIM đồng dạng.
Do đó, ta có \(\frac{AN}{AM} = \frac{AI}{AT}\).
Từ đó, ta có \(\frac{AI}{AT} = \frac{r}{r}\) (vì AN = r và AM = r)
Vậy, ta có AT = r.