a) Ta có MK là trung tuyến của tam giác ABC, do đó MK song song với AC. Khi đó, theo tính chất của đường song song, ta có:

∠KFA = ∠MKA (cùng chắn cung MA trên đường tròn (AMK))
∠KAF = ∠KMA (cùng chắn cung MK trên đường tròn (AMK))

Vậy, ta có hai góc cân bằng nhau, do đó tam giác KAF là tam giác cân. Từ đó suy ra F là trung điểm của AC.

b) Ta có MK là trung tuyến của tam giác ABC, do đó MK song song với AB. Khi đó, theo tính chất của đường song song, ta có:

∠EKA = ∠MKA (cùng chắn cung MA trên đường tròn (AMK))
∠KEA = ∠KMA (cùng chắn cung MK trên đường tròn (AMK))

Vậy, ta có hai góc cân bằng nhau, do đó tam giác KEA là tam giác cân. Từ đó suy ra E là trung điểm của KF.

Do đó, ta có EK = BM.

c) Ta có hai tam giác BNE và BCG đồng dạng (theo nguyên lý đồng dạng tam giác). Do đó, ta có:

BN/BC = BE/BG

Vì BG = BC (do B là trung điểm của AC), nên ta có:

BN/BC = BE/BC

Từ đó suy ra BN = BE.

Vậy, ta có AN = AC - CN = AC - (AC - BN) = BN = BE.

Do đó, AN = 1/2 NG.