Để chứng minh rằng đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras.

Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại A, với cạnh huyền BC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, và gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AD là đường trung tuyến.

Ta cần chứng minh rằng AD = 1/2 BC.

Theo định lí Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 2BM^2.

Vì M là trung điểm của cạnh BC, nên BM = MC. Do đó, ta có:
AB^2 + AC^2 = 2BM^2 = 2MC^2.

Vì AM là đường trung tuyến, nên ta có AM = MC. Do đó, ta có:
AB^2 + AC^2 = 2AM^2.

Từ đây, ta suy ra:
AM^2 = (AB^2 + AC^2)/2.

Vậy, ta có AM = sqrt((AB^2 + AC^2)/2).

Tuy nhiên, ta cũng biết rằng AM = AD + DM.

Do đó, ta có:
AD + DM = sqrt((AB^2 + AC^2)/2).

Vì DM = BM/2 = BC/2, nên ta có:
AD + BC/2 = sqrt((AB^2 + AC^2)/2).

Từ đây, ta suy ra:
AD = sqrt((AB^2 + AC^2)/2) - BC/2.

Để chứng minh rằng AD = 1/2 BC, ta cần chứng minh rằng:
sqrt((AB^2 + AC^2)/2) - BC/2 = 1/2 BC.

Bình phương cả hai vế của phương trình trên, ta có:
((AB^2 + AC^2)/2) - BC/2)^2 = (1/2 BC)^2.

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:
(AB^2 + AC^2)/4 - BC^2/4 - BC/2 + BC^2/4 = BC^2/4.

Rút gọn các thành phần giống nhau, ta có:
(AB^2 + AC^2)/4 - BC/2 = 0.

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 4, ta có:
AB^2 + AC^2 - 2BC = 0.

Tuy nhiên, từ định lí Pythagoras, ta biết rằng:
AB^2 + AC^2 = BC^2.

Thay vào phương trình trên, ta có:
BC^2 - 2BC = 0.

Rút gọn, ta có:
BC(B - 2) = 0.

Vì BC không thể bằng 0, nên ta có B - 2 = 0.

Từ đó, ta suy ra B = 2.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AD = 1/2 BC trong tam giác vuông ABC.