a) Ta có AB = AC và AD là đường trung trực của BC, nên AD cắt AB tại E và AC tại F.
Do đó, ta có AE = EB và AF = FC.
Vì DE vuông góc với AC và DF vuông góc với AB, nên tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác vuông.
Ta cũng có DE = DF (cùng là đường cao của tam giác ABC), nên tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác vuông cân.
Vậy tam giác ADE bằng tam giác ADF.

Để chứng minh AD là đường trung trực của EF, ta cần chứng minh AD vuông góc với EF và AD chia EF thành hai đoạn bằng nhau.

Gọi M là trung điểm của EF. Ta cần chứng minh AM = MD và AM vuông góc với EF.

Vì DE = DF và AD là đường trung trực của BC, nên AD cắt EF tại M và AM = MD.
Vì tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác vuông cân, nên AM vuông góc với DE và AM vuông góc với DF.
Vậy ta có AM vuông góc với EF.

Từ đó, ta có AD là đường trung trực của EF.

b) Gọi K là điểm trên tia đối của tia DE sao cho DE = DB.
Ta cần chứng minh tam giác DKC vuông.

Vì DE = DB và AD là đường trung trực của BC, nên AD cắt tia đối của tia DE tại K và AK = KD.
Vì tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác vuông cân, nên AK vuông góc với DE và AK vuông góc với DF.
Vậy ta có AK vuông góc với EF.

Từ đó, ta có tam giác DKC vuông.