Để biện luận về số nghiệm của phương trình, ta cần xét giá trị của tham số m.

Phương trình đã cho là: (m-1)x^2 - (m-2)x - 1/4(m+2) = 0

Để tìm số nghiệm của phương trình, ta cần xét đến đại lượng denta (Δ) của phương trình.

Δ = b^2 - 4ac

Với phương trình (m-1)x^2 - (m-2)x - 1/4(m+2) = 0, ta có:
a = (m-1)
b = -(m-2)
c = -1/4(m+2)

Thay các giá trị vào công thức tính Δ, ta có:
Δ = [-(m-2)]^2 - 4(m-1)(-1/4(m+2))
= (m-2)^2 + (m-1)(m+2)
= (m^2 - 4m + 4) + (m^2 + m - 2)
= 2m^2 - 3m

Để xét số nghiệm của phương trình, ta cần xét đến dấu của Δ.

Nếu Δ > 0, thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu Δ = 0, thì phương trình có một nghiệm kép.
Nếu Δ < 0, thì phương trình không có nghiệm thực.

Với Δ = 2m^2 - 3m, ta cần giải phương trình Δ = 0 để xác định giá trị của m.

2m^2 - 3m = 0
m(2m - 3) = 0

Vậy, ta có hai giá trị của m: m = 0 và m = 3/2.

Tiếp theo, ta xét giá trị của Δ khi m < 0, 0 < m < 3/2 và m > 3/2.

Khi m < 0:
Δ = 2m^2 - 3m < 0
Vậy, phương trình không có nghiệm thực.

Khi 0 < m < 3/2:
Δ = 2m^2 - 3m > 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Khi m > 3/2:
Δ = 2m^2 - 3m > 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại, số nghiệm của phương trình (m-1)x^2 - (m-2)x - 1/4(m+2) = 0 phụ thuộc vào giá trị của m như sau:
- Khi m < 0, phương trình không có nghiệm thực.
- Khi 0 < m < 3/2, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Khi m > 3/2, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Khi m = 0 hoặc m = 3/2, phương trình có một nghiệm kép.