a) Ta có O là trung điểm của AB và CD, do đó OA = OB và OC = OD. Vì vậy, tam giác AOC và tam giác BOD có cạnh bằng nhau và góc AOC = góc BOD (vì OA // OB và OC // OD). Do đó, tam giác AOC = tam giác BOD theo trường hợp SSS (cạnh - cạnh - cạnh).

b) Ta có OA = OB và OC = OD (vì O là trung điểm của AB và CD). Vì vậy, tam giác AOC và tam giác BOD có hai cạnh bằng nhau và góc AOC = góc BOD (vì OA // OB và OC // OD). Do đó, theo trường hợp SAS (cạnh - góc - cạnh), ta có AC // BD.

Tương tự, ta cũng có OA = OB và OC = OD. Vì vậy, tam giác AOC và tam giác BOD có hai cạnh bằng nhau và góc AOC = góc BOD (vì OA // OB và OC // OD). Do đó, theo trường hợp SAS (cạnh - góc - cạnh), ta có AD // BC.

c) Giả sử AM = CN. Ta cần chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vì O là trung điểm của AB, ta có OA = OB và OM = ON (vì AM = CN). Vì vậy, tam giác OAM và tam giác OCN có hai cạnh bằng nhau và góc OAM = góc OCN (vì OA // OB và OM = ON). Do đó, theo trường hợp SAS (cạnh - góc - cạnh), ta có tam giác OAM = tam giác OCN.

Vì tam giác OAM = tam giác OCN, ta có góc OMA = góc ONC (vì tổng các góc trong một tam giác bằng 180 độ). Vì vậy, ta có M, O, N thẳng hàng.