Cho tỉ lệ thức: A/B = C/D. Chứng minh rằng: 7A^2 - 4AB + 2B^2/B^2 + 3AB = 7C^2 - 4CD + 2D^2/D^2 + 3CD với điều kiện mẫu thức khác 0

Để chứng minh rằng 7a^2-4ab+2b^2/b^2+3ab= 7c^2-4cd+2d^2/d^2+3cd, ta sẽ chứng minh rằng tử số và mẫu số của hai phân số này đều bằng nhau.

Cho tỉ lệ thức a/b = c/d, ta có:

ad = bc (1)

Giả sử b^2 + 3ab ≠ 0 và d^2 + 3cd ≠ 0.

Ta có:

7a^2 - 4ab + 2b^2 = 7(a^2 - 4ab/7 + 2b^2/7) = 7((a^2 - 2ab/7 + b^2/7) + (b^2 - 2ab/7)) = 7((a - b/√7)^2 + (b/√7)^2)

Tương tự, ta có:

7c^2 - 4cd + 2d^2 = 7((c - d/√7)^2 + (d/√7)^2)

Vậy:

(7a^2 - 4ab + 2b^2)/(b^2 + 3ab) = (7c^2 - 4cd + 2d^2)/(d^2 + 3cd)

Điều kiện mẫu thức khác không đã được giả sử từ đầu.