Cho P=( căn x/ ( x căn x -1)  + 1/(căn x-1) ) : ( căn x +1)/( x+ căn x+1)

Để tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P, ta thực hiện các bước sau:

a. Tìm ĐKXD và rút gọn P:

Để xác định ĐKXD của biểu thức P, ta cần xem xét các mẫu số trong biểu thức.

- Mẫu số căn: Để căn x, căn x - 1 và căn x + 1 tồn tại, ta cần x ≥ 0 và x - 1 ≥ 0, x + 1 ≥ 0. Từ đó suy ra x ≥ 1.

- Mẫu số x: Để x + căn x + 1 tồn tại, ta cần x + 1 ≥ 0. Từ đó suy ra x ≥ -1.

Vậy ĐKXD của biểu thức P là x ≥ 1.

Giờ ta sẽ rút gọn biểu thức P:

P = ( căn x/ ( x căn x -1) + 1/(căn x-1) ) : ( căn x +1)/( x+ căn x+1)

= ( căn x/ ( x căn x -1) + 1/(căn x-1) ) * ( x+ căn x+1)/( căn x +1)

= ( căn x(x+ căn x+1) + (x+ căn x+1)/(căn x-1) ) / ( x căn x -1)

= ( căn x^2 + x căn x + căn x + x + 1)/( căn x - 1)

= ( x^2 + 2x căn x + 1 + x + 1)/( căn x - 1)

= ( x^2 + 3x + 2 + 2x căn x)/( căn x - 1)

= ( x(x + 3) + 2( căn x))/( căn x - 1)

Vậy biểu thức P sau khi rút gọn là: P = ( x(x + 3) + 2( căn x))/( căn x - 1)

b. So sánh P và căn P:

Để so sánh P và căn P, ta cần xác định ĐKXD của căn P.

Để căn P tồn tại, ta cần P ≥ 0.

Ta có P = ( x(x + 3) + 2( căn x))/( căn x - 1)

Để P ≥ 0, ta cần x(x + 3) + 2( căn x) ≥ 0 và căn x - 1 > 0.

- Đối với x(x + 3) + 2( căn x) ≥ 0, ta cần x(x + 3) ≥ -2( căn x). Vì căn x ≥ 0, nên ta chỉ cần x(x + 3) ≥ 0. Từ đó suy ra x ≥ 0 hoặc x ≤ -3.

- Đối với căn x - 1 > 0, ta cần x - 1 > 0. Từ đó suy ra x > 1.

Vậy ĐKXD của căn P là x > 1.

Tóm lại, ĐKXD của biểu thức P là x ≥ 1 và ĐKXD của căn P là x > 1.

Để so sánh P và căn P, ta cần xét các trường hợp:

- Khi x = 1, biểu thức P không xác định và căn P cũng không xác định.

- Khi x > 1, ta có P > 0 và căn P > 0.

Vậy không thể so sánh P và căn P vì không có trường hợp nào thỏa mãn cả ĐKXD của P và căn P.