1)tứ giác NPDE có hai góc NEP=NDP=90 cùng nhìn canh NP =>NEDP nội tiến đường tròn => 4đ cùng nằm trên một đường tròn(đcpcm)
Gọi I là trung điểm của NP =>EI=ID( ΔNEP và ΔNDP vuông )
=>EI=ID=NI=NP=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp tg NEDP và là trung điểm của NP (đcpcm)
2) ΔMND và ΔMPE có 
gM chung
gMEP=gNDM=90 
=>ΔMND ∽ ΔMPE(g.g)
=>MP/MN=ME/MD
=>MP*MD=ME*MN
3)tứ giác NHPK có
NI =IP (I  là trung điểm NP)
MI=IK(K đx với H qua I)
=>NHPK là HBH
4)Ta có EP // NK (HP//NK và E thuộc HP)
gNEP=90=>gENK=90(1)
Ta có ND//PK(NH//PK và D thuộc NH)
gNDP=90=>gDPK=90(2)
từ 1,2 =>MNKP nội tiếp đường tròn(vì có hai góc đối là 90 nên tổng là 180)
=>giả sử O là tâm của đg tròn này
=>O là trung điểm của MK(ΔNMKvàΔKPM vuông nên OM=OK= />5)Ta có O là trung điểm của MK (cmt)
I là trung điểm HK (NHPK là hbh)
=>OI là đg trung bình của Δ MHK 
=>OI=1/2MH
6)Kẻ MH vuông góc với NP 
Ta có ΔNDP∽ΔMHP(vì có góc chung và hai góc vuông)
=>DP/HP=NP/MP
=>DP*MP=HP*NP(3)
Ta có ΔNEP∽ΔNHM(vì có góc chung và hai góc vuông)
=>NE/NH=NP/NM
=>NE*NM=NH*NP(4)
Cộng hai vế 3 4 ta có
DP*MP+NE*NM=NH*NP+HP*NP=NP*(NH+HP)=NP^2