a) Ta cần chứng minh rằng tam giác CBD là tam giác cân.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có cạnh huyền BC = AB√2. Vì AD = AB, nên ta có cạnh CD = CB + BD = AB√2 + BD.

Xét tam giác CBD, ta có:

- Cân DB = Cân AB

- Góc CBD = 45 độ (vì AD song song với BC và ta có góc ABD = 45 độ)

- Góc CDB cũng bằng 45 độ (do tổng các góc trong tam giác là 180 độ và ta đã biết góc CBD = 45 độ).

Vì vậy, tam giác CBD là tam giác cân.

b,Vì đường DE song song với BC nên các góc BDE và DEC bằng nhau.

Mặt khác, ta có BM là đường trung tuyến của tam giác CBD nên BM bằng một nửa của CD, hay BM=MD.

Kết hợp hai điều trên, ta có hai tam giác BDE và CED đồng dạng (có hai góc bằng nhau và cạnh giữa tỉ lệ bằng nhau BM/DE=MD/CE).

Do đó, ta có BD/DE=CE/BC.

Mà BM=MD nên từ đó suy ra BD/DM=CE/CM, hay BD/BC=CE/CM+BD.

Vì BM là đường trung tuyến của tam giác CBD nên BM=1/2*BD.

Do đó, BC+BD=2BM+BD=2BM+2DM=2BM+2CE.

Như vậy, ta có BC+BD=2(BM+CE).

Mà BM=CE nên từ đó suy ra BC+BD=4BM>BM=BE.

Vậy ta có BC+BD>BE.

c,Ta có: DM là đường trung tuyến của tam giác BCD nên DM=1/2*BC.

Mặt khác, ta có BM là đường trung tuyến của tam giác CBD nên BM=1/2*CD.

Do AD=AB và BM=MD nên ta có:

AM=AB-BM=AD-DM=DG.

Vậy, tam giác AMG là tam giác cân tại đỉnh M.

Do đó, ta có GM=MA=GD.

Mà GM là phân giác của tam giác BCD nên theo định lí phân giác ta có:

BD/DC=BG/GC.

Thay BD=2GM và DC=BC/2 vào biểu thức trên, ta có:

2GM/(BC/2)=BG/GC.

Từ đây suy ra: BC=6GM (vì BG=GC do ta có công thức phân giác).