a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AH.
- Ta có AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC.
- Ta có AI là đường trung bình của tam giác ABC, nên AI song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.
- Vì I là trung điểm của BC nên MI song song với AI và có độ dài bằng một nửa độ dài AI.
- Vì H là giao điểm của đường cao AD và đường trung bình AI nên H nằm trên đường thẳng MI.
- Vì K là trung điểm của AK nên K nằm trên đường thẳng MI.
- Vậy ta có ba điểm H, I, K thẳng hàng.
- Ta có: ∠BCE = ∠BAE = ∠BAH = ∠BCH (do ABHC nội tiếp) nên BCE nội tiếp đường tròn (O).
- Vậy tứ giác BCE nội tiếp đường tròn và ba điểm H, I, K thẳng hàng.

b) Gọi S là diện tích tam giác AEH.
- Ta có: S = 1/2 * AE * AH * sin(AEH).
- Vì tam giác ABC nhọn nên tam giác AEH cũng nhọn.
- Ta có: sin(AEH) là hàm số nghịch biến trên đoạn (0, π).
- Vậy để S đạt giá trị lớn nhất, ta cần AE và AH đạt giá trị lớn nhất.
- Vì A chuyển động trên cung lớn BC nên để AE đạt giá trị lớn nhất, ta cần A nằm ở đầu cung lớn BC.
- Vì tam giác ABC nhọn nên để AH đạt giá trị lớn nhất, ta cần A nằm gần với đỉnh B.
- Vậy vị trí của A để diện tích tam giác AEH lớn nhất là khi A nằm gần với đỉnh B và trên cung lớn BC.