Để hàm số sau xác định trên R, ta cần giải các bất phương trình sau:

cos²x + cosx - 2m + 1 ≥ 0 (1) cos2x - 2cosx + m ≥ 0 (2) sin^4x + cos^4x - sin2x - m ≥ 0 (3)

Từ (1), ta có: Δ = b² - 4ac = 1 - 4(1)(-2m + 1) = 8m - 3

Vì hàm số y = √(cos²x + cosx - 2m + 1) xác định trên R nên: cos²x + cosx - 2m + 1 ≥ 0 ⇔ Δ ≤ 0 ⇔ 8m - 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 3/8

Tương tự, ta có: cos2x - 2cosx + m ≥ 0 ⇔ Δ ≤ 0 ⇔ m ≤ 1

sin^4x + cos^4x - sin2x - m ≥ 0 ⇔ (sin^2x + cos^2x)² - (2sinxcosx)² - sin2x - m ≥ 0 ⇔ (sin^2x - cos^2x)² - sin2x - m ≥ 0 ⇔ (sin^2x - cos^2x)² ≥ sin2x + m

Vì hàm số y = √(sin^4x + cos^4x - sin2x - m) xác định trên R nên: sin^4x + cos^4x - sin2x - m ≥ 0 ⇔ (sin^2x - cos^2x)² ≥ sin2x + m

Ta sẽ giải bất phương trình này theo từng trường hợp:

Trường hợp I: sin^2x > cos^2x (sin^2x - cos^2x)² ≥ sin2x + m ⇔ (sin^2x - cos^2x)² ≥ sinxcosx + sinxcosx + m ⇔ (sin^2x - cos^2x)² ≥ sin(x+y)sin(x-y) + m ⇔ (sin^2(x+y) - cos^2(x+y))² ≥ sin(x+y)sin(x-y) + m

Đặt t = tan(x+y), ta có: (sin(x+y))^2 = t2/(t2+1) (cos(x+y))^2 = 1/(t^2+1)

Bất phương trình trở thành: (tan(x+y))4/(tan(x+y))4+1 ≥ sin(x-y)/sin(x+y) + m

Ta có: tan(x-y) = (tan(x+y)-tan(2y))/(1+tan(x+y)*tan(2y)) = t-tan(2y)/(1+t)

Do đó: sin(x-y)/sin(x+y) = tan(x-y)/tan(x+y) = t-tan(2y)/(t+tan(2y))

Bất phương trình trở thành: (tan(x+y))4/(tan(x+y))4+1 ≥ t-tan(2y)/(t+tan(2y)) + m

Đặt z = tan(y), ta có: (t+z)4/(t+z)4+1 ≥ t-2z/(t+2z) + m

Bất phương trình này là bất phương trình bậc hai. Giải ra ta được:

-√((t+z)6+(t+z)5+(3t-5z)(t+z)4+(5z²-10tz-t²)(t+z)³+(5z³-10tz²+t³)(t+z)²+(3z-t)(t-z)³)/((t+z)3+tz(t+z)) ≤ m ≤ √((t+z)^6+(t
Bài hơi dài bạn nhé