a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khi đó, ta có AI song song với DE (do cạnh huyền của tam giác vuông cân ABC song song với đáy của hình chữ nhật ADME).
Mà AM là đường cao của tam giác ABC, nên AI vuông góc với BC. Vậy AI vuông góc với DE.
Do đó, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Gọi H là giao điểm của đường cao AH với cạnh BC.
Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
Mà AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc BAH = 90 độ.
Vậy góc BAC = góc BAH = 90 độ.
Do đó, A, H, C, B nằm trên một đường tròn đường kính AC.
Mà góc BAC = 90 độ, nên góc BHC = 180 - góc BAC = 90 độ.
Vậy góc BHC = 90 độ.
Mà góc BHC = góc DHE (do DE song song với BC), nên góc DHE = 90 độ.

c) Để đoạn thẳng DE có độ dài ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho D, E là hai điểm trùng nhau.
Khi đó, M là trung điểm của cạnh huyền BC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đoạn thẳng AM là đường cao của tam giác ABC.
Vậy để đoạn thẳng DE có độ dài ngắn nhất, ta cần chọn M là trung điểm của cạnh huyền BC.