Điều kiện này chỉ xảy ra trong tứ giác không lồi (tức là tứ giác có ít nhất một góc lớn hơn 180 độ). Trong trường hợp này, tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác sẽ lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn tổng chu vi của tứ giác.

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác để tính độ dài đường chéo. Gọi ABCD là tứ giác không lồi, với đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Ta có:

AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 * AO * OC * cos(∠AOC)
BD^2 = BO^2 + OD^2 - 2 * BO * OD * cos(∠BOD)

Tổng độ dài hai đường chéo là AC + BD. Để tổng này lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn tổng chu vi của tứ giác, ta cần chứng minh:

AC + BD > 1/2 * (AB + BC + CD + DA) và AC + BD < AB + BC + CD + DA

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng các bất đẳng thức tam giác và định lý cosin.