a) Để chứng tỏ rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi x, ta cần chứng minh rằng delta (Δ) của phương trình luôn lớn hơn 0.

Phương trình đã cho là: x^2 + (2m-1)x - m = 0

Theo công thức delta (Δ) của phương trình bậc 2: Δ = b^2 - 4ac

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có: a = 1, b = 2m-1, c = -m

Δ = (2m-1)^2 - 4(1)(-m)
= 4m^2 - 4m + 1 + 4m
= 4m^2 + 1

Vì Δ = 4m^2 + 1 luôn lớn hơn 0 với mọi m, nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi x.

b) Để tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 - x2 = 1, ta cần tìm mà thỏa mãn điều kiện này.

Theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2: x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có: a = 1, b = 2m-1, c = -m

Δ = (2m-1)^2 - 4(1)(-m)
= 4m^2 - 4m + 1 + 4m
= 4m^2 + 1

Điều kiện x1 - x2 = 1 có thể viết lại thành: (-b + √Δ) / (2a) - (-b - √Δ) / (2a) = 1

Simplifying the equation, we get: (-b + √Δ) - (-b - √Δ) = 2a

(-b + √Δ) - (-b - √Δ) = 2(1)

2√Δ = 2

√Δ = 1

Δ = 1

Substituting Δ = 4m^2 + 1, we get: 4m^2 + 1 = 1

4m^2 = 0

m^2 = 0

m = 0

Vậy, để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 - x2 = 1, m = 0.