Để chứng minh C, M, N, D nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của hình vuông và đường tròn.

Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên ta có:
OA = OB = OC = OD (vì các cạnh của hình vuông bằng nhau)
OM = ON (vì M, N là trung điểm của OA, BC)

Ta cần chứng minh tứ giác CMND là tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh góc CMD = góc CND.

Vì M là trung điểm của OA, nên ta có:
∠OMD = ∠OAD (góc đồng quy)

Vì N là trung điểm của BC, nên ta có:
∠OND = ∠OBC (góc đồng quy)

Vì ABCD là hình vuông, nên ta có:
∠OAD = ∠OBC (góc vuông)

Từ đó, ta có:
∠OMD = ∠OND

Do đó, góc CMD = góc CND.

Vậy ta đã chứng minh được tứ giác CMND là tứ giác nội tiếp.

Vậy ta kết luận rằng C, M, N, D nằm trên một đường tròn.