Để chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác MNP đi qua một điểm cố định, ta cần chứng minh rằng tổng các góc giữa đường thẳng Euler và các cạnh của tam giác MNP là một giá trị cố định.

Gọi H là trực tâm của tam giác MNP. Ta cần chứng minh rằng tổng các góc giữa đường thẳng Euler và các cạnh của tam giác MNP là góc giữa đường thẳng Euler và cạnh BC.

Gọi O là tâm của đường tròn (O). Ta có:
- Góc MOP = Góc NOP = 90 độ (do MN và NP là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Góc MOH = Góc NOH = 90 độ (do HM và HN là đường cao của tam giác MNP).
- Góc MOB = Góc NOB = 90 độ (do BM và BN là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Từ đó, ta có:
- Góc MOH = Góc MOB = Góc MOP.
- Góc NOH = Góc NOB = Góc NOP.

Do đó, tổng các góc giữa đường thẳng Euler và các cạnh của tam giác MNP là góc giữa đường thẳng Euler và cạnh BC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng Euler của tam giác MNP đi qua một điểm cố định.